Цікаві факти про теорію ймовірності

Теорія ймовірності — цікаві факти

Теорія ймовірності – розділ математики, який вивчає випадкові події і випадкові величини. Представляємо цікаві факти про теорію ймовірності.

Метеорит

Двері, кози і автомобіль

В американському фільмі «Двадцять одне» 2008 року на курсі з нелінійних рівнянь професор попросив студентів пояснити йому метод Ньютона і його використання. Після дискусії з героєм фільму, Беном Кемпбеллом, про те, хто придумав сам метод, професор згадує телешоу Морті Холла «Let’s Make a Deal» («укладемо угоду») і просить Бена аргументувати вірну відповідь на «парадокс Морті Холла», що і робить герой.

Сама передача, яку згадав професор, була популярна в минулому столітті на американському телебачення. Суть її проста: є ведучий і гравець, є три двері, за однією з яких стоїть автомобіль, а за двома — кози. Перемога-вгадати двері, де знаходиться транспортний засіб. Гравець вибирає одні двері, а ведучий, який знає розташування предметів за ними, відкриває з решти ту, де знаходиться тварина. І у гравця постає вибір: міняти свій початковий вибір чи не варто?

Очевидно, що програти можна в будь-якому випадку. Гравець сприймає, що у нього шанс 50 на 50 того, що вибере правильні двері. Однак, варто згадати самий початок. Спочатку» правильна » двері могла бути в одному випадку з трьох, а в двох залишилися — 2/3 ймовірності. Після відкриття ведучим двері з твариною, на не обрану двері випадає 2/3 ймовірність знаходження за нею автомобільного засобу, при цьому на ту, що вибрав гравець так і залишається 1/3. Так як 2/3 більше 1/3 вибір стає очевидним: варто поміняти двері. Але це не змінює факту того, що початковий вибір гравця міг бути переможним.

Завдання зі стратою і помилуванням

Так звана «завдання трьох в’язнів» має багато спільного з вищесказаною проблемою Холла, проте у неї більш жорсткі умови. Вивів її американець Мартін Гарднер в 1959 році. Уявімо, що є три ув’язнених (перший, другий і третій), які очікують виконання свого вироку, а саме смертної кари. Однак, губернатор вирішує одного з них пощадити і залишити в живих. Знає про це наглядач, який не має право називати ім’я помилуваного ні йому самому, ні іншим засудженим.

Перший в’язень просить сказати ім’я ув’язненого, якого страчують з тих двох. У разі, якщо першого помилували, то прохання ув’язненого полягала в підкиданні монетки і називання імені по ній (припустимо, «орел» — це другий ув’язнений», а «решка» — третій). В’язень отримує відповідь від наглядача про страту другого засудженого. Чи змінилося щось для нашого «першого»? Ні, тому що в будь-якому випадку одного з тих двох стратили б, і інформації про себе він не зміг витягти. Однак, все ж сама ймовірність знизилася з двох третіх до однієї другої.

Якщо припустити, що другий ув’язнений підслухав розмову «першого» з наглядачем, то той буде знати про свою швидку смерть і про ймовірність його помилування немає й мови. У разі ж, якщо підслухає третій ув’язнений, то його шанс бути помилуваним буде 2/3. Це сталося тому що шанс опинитися помилуваним у «першого» залишилися колишніми — 1/3, а ось через підтверджені дані про швидку страту «другого» третій в’язень отримав «бонус» у вигляді двох третіх.

Гроші в конвертах

Знайомий за попередньою задачею математик Мартін Гарднер сформував задачу про два конверти. У даній задачі вже беруть участь двоє гравців і один ведучий. Ведучий видає учасникам по конверту, в якій лежить певні суми. Важливо те, що одна сума більше іншої в два рази (наприклад, в першому конверті двадцять доларів, а в другому — сорок). Учасники дивляться тільки свої суми, а далі ведучий запитує їх, Чи готові вони на обмін. Важливо! Обмін може відбутися тільки тоді, коли обидва учасники погодяться на обмін в принципі.

Як же прийняти рішення? Очевидно, що в разі, якщо учасник у себе виявив, наприклад, 20 доларів, то в конверті товариша може бути як сорок, так і десять доларів. При вирішенні на обмін можна порахувати середню суму: 1/2х10+1/2х40=25 доларів. Ця сума більша, ніж у» своєму «конверті», тому обмін для цього учасника вигідний. Такі ж розрахунки буде проводити і другий учасник, і за його розрахунками йому також буде вигідний обмін. Однак, в даній ситуації не може бути два переможці.

Якщо повернутися до того, як учасники подивилися свої суми, шанси отримати подвійну суму були 50 на 50 у обох. Однак, саме спостереження змінює всю справу. Імовірність виграшної або програшної суми повинна бути однакова для дотримання умов. Виходить, що значення суми (від нуля до нескінченності) рівноймовірні, що дає загальну суму у вигляді нескінченності, що неможливо.

Рішенням парадоксу займаються і донині. Наприклад, Томас Кавер, професор зі Стенфордського університету, запропонував більше спиратися на інтуїцію при вирішенні міняти або не змінювати конверт. Наприклад, при виявленні в конверті десяти доларів краще ризикнути, тому що сума невелика, а ось якщо п’ятсот або більше, то вигідніше не погоджуватися на обмін конвертами. Це найкраще працює, якщо таких партій з конвертами багато: сумарний виграш більше, ніж, якщо учасник дотримувався тактики зміни конвертів не замислюючись.

Незвичайні цифри в іграх і природі

Дуже рідко в грі на кидання монетки та стає на своє ребро. Однак, якщо постаратися і зробити мільйон спроб, то встане на ребро вона 150 разів. Для цього знадобиться цілий рік, на ребро вона буде ставати раз в два дні при восьмигодинному робочому дні. А для combo, яке обмежиться всього в двох ребрах, доведеться витратити цілих тридцять п’ять років! Але це нічого в порівнянні з лотереями — там шанс вгадати всі шість номерів з 45 відноситься як один до більш ніж восьми мільйонам! І у гросмейстера перемогти людині, яка не вміє грати в шахи, фактично неможливо. Імовірність перемоги становить один до десяти в сотому ступені.

Кожна людина може загинути від цунамі, проте ймовірність не так і велика — один на 500 тисяч. Така ж ймовірність для конкретної людини загинути від астероїда, однак, якщо він і впаде, то глобальна катастрофа може статися тільки з ймовірністю один до десяти мільйонів.

Дуже мала ймовірність людей з однаковими відбитками пальців-всього один до десяти в шістдесятому ступені! Та й ймовірність знайти голку в стозі сіна з першої спроби велика-один до ста мільйонів.